Finite Elemente Methode (FEM)

5. September 2015     /

Ein Thema, das in der Gebäudetechnik immer weiter Einzug hält, ist eine Computersimulation, bekannt unter dem Namen Finite-Elemente-Methode. Diese wird im weiteren mit „FEM“ abgekürzt.

Ursprünglich jedoch kommt diese Methode aus anderen Branchen. Die FEM ist das am weitesten verbreitete Verfahren zur Berechnung komplexer Strukturen im Maschinenbau, Bauwesen, sowie Fahrzeug-, Luft- und Raumfahrttechnik. Mit dieser Methode können Belastungen, Spannungen und Schwerkräfte in Bauteilen, Maschinen und dergleichen erkannt werden.

Die wichtigsten Berechnungsmethoden im Überblick

  1. Finite-Elemente-Methode (FEM): Das Objekt wird in Elemente unterteilt. Ansatzfunktionen werden eingeführt und die Differentialgleichungen werden durch integrale Mittelwertbildung umgewandelt.
  2. Finite-Differenzen-Methode (FDM): Das Element wird in Gitterpunkte eingeteilt und Differenzialquotienten auf die jeweiligen Punkte bezogen.
  3. Randelement-Methode (BEM): Der Rand des Elements wird über Knoten definiert. Die Ansatzfunktionen werden dort angesetzt. Mit Hilfe der bekannten Randbedingungen werden über die definierten Knotenpunkte die Differentialgleichungen in Integralgleichungen überführt.
  4. Gitterloses Verfahren (DEM).

Die konkrete Anwendung der FEM
Eingesetzt werden kann die FEM überall dort, wo physikalische Erscheinungen durch partielle, orts- bzw. zeitabhängige Differentialgleichungen beschrieben werden können. Hierbei handelt es sich nicht um ein analytisches Verfahren, sondern um eine mathematische Annäherung. Das vorhandene Objekt bzw. Gebiet wird in viele kleine, analytisch lösbare Teile (sog. Elemente) zerlegt. Die Geometrie der Elemente wird durch Knoten (Eckknoten, Endknoten) definiert.

Die zwei Betrachtungsweisen innerhalb der FEM

  • Lagrangsche Betrachtung: hierbei handelt es sich um eine materielle Betrachtung. Das den jeweiligen Elementen zugeordnete Materialvolumen ist konstant.
  • Eulersche Betrachtung: hierbei handelt es sich um eine räumliche Betrachtung. Die Elemente sind raumfest – sprich, die Koordinaten sind klar definiert.

Jedes Element besitzt eine definierte Steifigkeit, an den Eckpunkten können jedoch Freiheitsgrade auftreten. Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhält man für jeden Knoten die jeweilige Verschiebung und Verdrehung, bezogen auf die ursprünglichen Positionen, Freiheitsgrade und Eigenschaften. Somit können Knotenkräfte, Elementverformungen, innere Kräfte und Spannungen für jedes Element bestimmt werden. Das Bauteil bzw. der Raum wird durch die Gesamtheit aller Elemente definiert und charakterisiert.

Grundlagen
Grundsätzlich wird zwischen zwei Weisen, sich der FEM zu nähern unterschieden:

  • Mathematisch über Disketisierung eines Teilbereiches eines Kontinuums.
  • Praktisch über die Tragwerkstheorie und die Assemblierung (Zusammenführung) eines FE-Modells aus diskreten Bauelementen.

Die praktische Umsetzung der FEM
Eine Finite-Elemente-Analyse besteht aus drei getrennten Schritten:

  • Pre-Processing
  • Simulation
  • Post-Processing

Die Vorgehensweise beim Erstellen eines Finite-Elemente-Modells sieht wie folgt aus:

  • Zuerst wird eine Modelldatenbank erstellt.
  • Das Modell wird über Knotenkoordinaten, Elementeigenschaften, Materialkennwerten, Belastungen und Randbedingungen definiert.
  • Aus diesen Vorgaben erstellt ein FE-Programm Elementsteifigkeitsmatrizen. Als Ergebnis aller Elementsteifigkeitsmatrizen wird eine Gesamtsteifigkeitsmatrix und ein Belastungsvektor generiert. Außerdem werden die Zwangsbedingungen (Einschränkungen der Bewegungsfreiheit) eingebaut.
  • Der nächste Schritt ist das Lösen des (linearen) Gleichungssystems und Ausgabe der Deformationen.
  • Aus der Nachlaufrechnung erhält man schlussendlich die Spannungen innerhalb des Bauteils bzw. Raums. [3]

Die Anwendung in der Gebäudetechnik
In der Gebäudetechnik können über die FEM zum Beispiel das Verhalten von Luftströmungen und Zirkulation innerhalb eines geschlossenen Raums modelliert werden. Somit können Luftauslässe, Absaugungen und andere Bauteile so platziert werden, dass die gewünschten Thermik- und Strömungseigenschaften erreicht werden. In der Planung von Lüftungsanlagen steht man häufig vor dem Problem, dass einerseits aus optischen Gründen eine symmetrische Anordnung der Auslässe, andererseits eine optimale Durchmischung der Luftschichten innerhalb des Raums gewünscht ist.

Da in diesem Raum von Büros, über Hochregallager bis hin zu Maschinen diverser Größen alles untergebracht sein kann, ist eine Simulation der Anlage unumgänglich. Denn eine Auslegung, basierend rein auf Erfahrung und Vorstellungskraft des Ingenieurs, wird ab einer gewissen finanziellen und baulichen Größe mit Sicherheit zum Scheitern verurteilt sein. Nach einer Simulation kann sich der Ingenieur dahingehend absichern, dass er, sollte die Anlage optische und funktionelle Wünsche nicht vereinen können, den Kunden darüber informieren kann. Somit hat der Kunde die Möglichkeit, zu entscheiden, wo für ihn der Kompromiss zu suchen ist. Das generiert einerseits ein Bewusstsein beim Kunden, andererseits eine Sicherheit für den Ingenieur.

Auch Charakteristika diverser einzelner Lüftungsanlagenbauteile können mithilfe der Finite-Elemente-Methode analysiert und die Bauteilform gegebenenfalls angepasst werden. Somit können kosten- und arbeitsaufwendige Luftkanaltests und andere Laborversuche auf ein Minimum beschränkt werden.

Simulationen werden immer weiter Einzug in der Technik halten – und somit auch in der Gebäudetechnik. Dies wird über alle Stadien der Projektierung geschehen, von der Bauteilentwicklung, über die Planung neuer Anlagen, bis hin zu Problemanalysen bestehender Anlagen und dem Einschätzen derer Optimierungspotenziale.

Quellen:

  1. 08.2015; 16:00 – http://www.stanker.at/stts/..%5Cgrafiken%5Cn_feux.gif
  1. 08.2015; 16:00 – http://www.inventor-magazin.de/sites/default/files/styles/367x367_articleimg_sidebar/public/teasers/nafems_bild4_cymb_02.jpg?itok=0sUnEBY5
  1. FEM for 4 – Eine kurze Einführung in die Finite Elemente Methode; Falk K. Wittel; ETH Zürich; 2010

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